Make your own free website on Tripod.com
 
  Octonions & Sedenions
  Home  Octonions   Sedenions   Cayley-Dickson Algebras Site Map/Links
         ---> Basic Algebra --->Representation --->Zero divisor example
              \---> Our Publication
   
...

Representation:
  A sedenion, S, may be represented as an ordered pair of two octonions, A and B, as

        S := ( A ; B ) .

By Cayley-Dickson process the multiplication of two sedenions, S and T, in terms of four octonions, A, B, C, D, may be defined as
        S T := ( A ; B ) ( C ; D ) := ( AC + gD*B ; BC* + DA ) ,

where B* is a conjugate of B, and g is a field parameter.
 A sedenion, S, may also be written componentwise as
        S := m=0S15  sm em    =  s0 e0  +  j=1S15  sj ej ,

where em are the basal elements of S.  The basal elements, em ,  may be constructed from octonion basal elements, im , analogous to the method used for octonion basal elements.  If we choose the multiplication rule for octonions as described for our octonion basis   ( i.e. the field parameter, g, is chosen as -1 at each iteration of the Cayley-Dickson process ) we obtain the multiplication rule summarized in the following table.
 

 
e0 = 1
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e8
e9
e10
e11
e12
e13
e14
e15
e0 = 1
1
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e8
e9
e10
e11
e12
e13
e14
e15
e1
e1
-1
e3
-e2
e5
-e4
-e7
e6
e9
-e8
-e11
e10
-e13
e12
e15
-e14
e2
e2
-e3
-1
e1
e6
e7
-e4
-e5
e10
e11
-e8
-e9
-e14
-e15
e12
e13
e3
e3
e2
-e1
-1
e7
-e6
e5
-e4
e11
-e10
e9
-e8
-e15
e14
-e13
e12
e4
e4
-e5
-e6
-e7
-1
e1
e2
e3
e12
e13
e14
e15
-e8
-e9
-e10
-e11
e5
e5
e4
-e7
e6
-e1
-1
-e3
e2
e13
-e12
e15
-e14
e9
-e8
e11
-e10
e6
e6
e7
e4
-e5
-e2
e3
-1
-e1
e14
-e15
-e12
e13
e10
-e11
-e8
e9
e7
e7
-e6
e5
e4
-e3
-e2
e1
-1
e15
e14
-e13
-e12
e11
e10
-e9
-e8
e8
e8
-e9
-e10
-e11
-e12
-e13
-e14
-e15
-1
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e9
e9
e8
-e11
e10
-e13
e12
e15
-e14
-e1
-1
-e3
e2
-e5
e4
e7
-e6
e10
e10
e11
e8
-e9
-e14
-e15
e12
e13
-e2
e3
-1
-e1
-e6
-e7
e4
e5
e11
e11
-e10
e9
e8
-e15
e14
-e13
e12
-e3
-e2
e1
-1
-e7
e6
-e5
e4
e12
e12
e13
e14
e15
e8
-e9
-e10
-e11
-e4
e5
e6
e7
-1
-e1
-e2
-e3
e13
e13
-e12
e15
-e14
e9
e8
e11
-e10
-e5
-e4
e7
-e6
e1
-1
e3
-e2
e14
e14
-e15
-e12
e13
e10
-e11
e8
e9
-e6
-e7
-e4
e5
e2
-e3
-1
e1
e15
e15
e14
-e13
-e12
e11
e10
-e9
e8
-e7
e6
-e5
-e4
e3
e2
-e1
-1

Just as with octonions one can write the multiplication rule in somewhat more compact form by means of the following 35 sedenion cycles:

        ( 1,2,3 ), ( 1,4,5 ), ( 1,7,6 ), ( 1,8,9 ), ( 1,11,10 ), ( 1,13,12 ), ( 1,14,15 )
        ( 2,4,6 ), ( 2,5,7 ), ( 2,8,10 ), ( 2,9,11 ), ( 2,14,12 ), ( 2,15,13 ),
        ( 3,4,7 ), ( 3,6,5 ), ( 3,8,11 ), ( 3,10,9 ), ( 3,13,14 ), ( 3,15,12 ),
        ( 4,8,12 ), ( 4,9,13 ), ( 4,10,14 ), ( 4,11,15 ),
        ( 5,8,13 ), ( 5,10,15 ), ( 5,12,9 ), ( 5,14,11 ),
        ( 6,8,14 ), ( 6,11,13 ), ( 6,12,10 ), ( 6,15,9 ),
        ( 7,8,15 ), ( 7,9,14 ), ( 7,12,11 ), ( 7,13,10 ).

The multiplication of two sedenion basal elements, ej   and e , is given by

      ej   ek    =  -  dj k  + (jkm)S e jkm e m  ,    ( j, k, m = 1,2,...,15 )   ,

where the summation is over all possible permutations of the sedenion cycle, (j,k,m), and the structure constant,  ejkm  , is totally anti-symmetric in its indices and is given by
 
    e jkm   = {
  1   if  (j,k,m) is an even permutation,
- 1   if  (j,k,m) is an odd permutation,
   0   otherwise,
of a sedenion cycle,

and as usual,
 
dj k  {
1   if j = k
0   otherwise.

As an example, the sedenion cycle, ( 5,12,9 ) implies that
    e9   e12  =   - e5 ,    e9   e5  =    e12  ,  etc..

...